Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;-3), B(3;-1;0). Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mp(Oxy).
A. x = 0 y = − t z = − 3 + 3 t
B. x = 1 + 2 t y = 0 z = − 3 + 3 t
C. x = 1 + 2 t y = − t z = 0
D. x = 0 y = 0 z = − 3 + 3 t
Đáp án C
Hình chiếu của A,B trên mp(Oxy) là A ' 1 ; 0 ; 0 ; B ' 3 ; − 1 ; 0 . Có A B → = 2 ; − 1 ; 0 là vtcp của A’B’ nên phương trình tham số của A’B’ là
x = 1 + 2 t y = − t z = 0 .
Cho hai điểm A(1;0;-3), B(3;-1;0). Viết phương trình tham số đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (Oxy)
A. x = 0 y = - t z = - 3 + 3 t
B. x = 1 + 2 t y = 0 z = - 3 + 3 t
C. x = 1 + 2 t y = - t z = 0
D. x = 0 y = 0 z = - 3 + 3 t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;-3), B(1;0;-1) và đường thẳng d : x + 1 2 = y − 2 − 1 = z 1 . Đường thẳng d vuông góc với cả hai đường thẳng AB và d thì có vectơ chỉ phương là vectơ nào trong các vectơ dưới đây?
A. u 1 → = 1 ; − 5 ; 3
B. u 2 → = 1 ; 5 ; 3
C. u 3 → = 4 ; 2 ; 3
D. u 4 → = 3 ; 11 ; 5
Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+y+6z-1=0 và hai điểm A(1;-1;0), B(-1;0;1). Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bao nhiêu?
A. 255 61
B. 237 41
C. 137 41
D. 155 61
Đáp án B
Sin góc giữa đường thẳng AB và (P) là
Hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng (P) có độ dài là
Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 6z – 1 = 0 và hai điểm A(1; –1;0), B(–1;0;1). Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bao nhiêu?
A. 255 61
B. 237 41
C. 137 41
D. 155 61
Đáp án B
Sin góc giữa đường thẳng AB và (P) là sin α = u A B → . n P → u A B → . n P →
Hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng (P) có độ dài là
Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm: A(1; -3; -1); và B(-2; 1; 3)
a) Chứng tỏ rằng hai điểm A và B cách đều trục Ox.
b) Tìm điểm C nằm trên Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C.
c) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mp(Oyz).
d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mp(Oyz).
a) \(Ox:\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=0\\z=0\end{matrix}\right.\).
Lấy điểm \(M\left(1;0;0\right)\in Ox\).
\(d\left(A,Ox\right)=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{MA},\overrightarrow{u_{Ox}}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u_{Ox}}\right|}=\sqrt{10}\).
\(d\left(B,Ox\right)=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{MA},\overrightarrow{u_{Ox}}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u_{Ox}}\right|}=\sqrt{10}\)
Do đó hai điểm \(A,B\) cách đều trục \(Ox\).
b) Điểm \(C\in Oz\) nên tọa độ điểm \(C\) có dạng \(\left(0;0;c\right)\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) nên \(CA\perp CB\)
suy ra \(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0\)
\(\Leftrightarrow1.\left(-2\right)-3.1-\left(1+c\right).\left(3-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-2\\c=4\end{matrix}\right.\).
c) Mặt phẳng \(\left(Oyz\right)\): \(x=0\).
Hình chiếu của \(A,B\) trên \(\left(Oyz\right)\) lần lượt là \(A'\left(0;-3;-1\right)\), \(B'\left(0;1;3\right)\).
Phương trình hình chiếu của đường thẳng \(AB\) trên \(\left(Oyz\right)\) là phương trình của đường thẳng \(A'B'\).
d) Gọi tọa độ tâm thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(I\left(0;a;b\right)\).
Có \(IO=IA=IB\) suy ra
\(a^2+b^2=1^2+\left(a+3\right)^2+\left(b+1\right)^2=2^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{-47}{16}\\b=\dfrac{53}{16}\end{matrix}\right.\).
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A ( 3 ; - 1 ; 0 ) trên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;-2), B(-1;1;1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là:
A. 2x - y - 3z - 8 = 0
B. x - 2z - 8 = 0
C. x - 2z - 8 = 0
D. 2x - y - 3z + 6 = 0
Đáp án A
Do (P) ⊥ AB nên mp(P) có một vectơ pháp tuyến là n P → = AB → = (-2; 1; 3). Mặt khác (P) đi qua điểm A nên phương trình của mặt phẳng (P) là:
-2(x - 1) + (y - 0) + 3(z + 2) = 0 ⇔ -2x + y + 3z + 8 = 0 ⇔ 2x - y - 3z - 8 = 0.
Vậy đáp án đúng là A.
Lưu ý. Khi ta viết phương trình mặt phẳng (P) bị nhầm ở cột z:
-2(x - 1) + (y - 0) + 3(z + 2) = 0 <> 2x - y - 3z - 4 = 0
thì ta được đáp án B.
Khi ta viết phương trình mặt phẳng bị nhầm giữa tọa độ của điểm A với tọa độ của vectơ pháp tuyến 1(x - (-2)) + 0(y - 1) -2(z - 3) = 0 <=> x - 2x + 8 = 0 thì ta được đáp án C.
Khi ta viết phương trình mặt phẳng đi qua B thì ta thu được đáp án D.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình x = 1 + 2 t y = t z = 2 - t . Gọi d’là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng d’ có một véc tơ chỉ phương là
A. u 1 → = ( 2 ; 0 ; 1 )
B. u 1 → = ( 1 ; 1 ; 0 )
C. u 1 → = ( - 2 ; 1 ; 0 )
D. u 1 → = ( 2 ; 1 ; 0 )
Đáp án D
Gọi M(1+2t;2t;2-t) là giao điểm của d và (Oxy): z =0
Gọi N(1;0;2) là điểm thuộc d. Hình chiếu của N lên (Oxy) là I(1;0;0)
là một véc tơ chỉ phương của d’
